cyrxdzj的文化课学习笔记 数学007 一元二次函数的解情况

有些时候我们需要解“某一元二次函数有？个不同的实数解”的问题。

需要注意，此问题对一元二次函数的开口方向有要求。以下内容一般默认开口向上。

1、要求在某个区间中有不同的两个实数解

例如，$f(x)=x^2+mx+(m+3)$ 是一个一元二次函数。$f(x)=0$ 在 $(0,2)$ 中有 $2$ 个不同的实数解，求 $m$ 的范围？

一般情况下，我们可以使用这些东西，列出不等式：

1. 特定 $x$ 下的函数值；

2. 函数的对称轴；

3. 根的判别式 $\Delta$。

以上可选式子各自有各自的计算难度。

首先我们看到有 $2$ 个不同的实数解。所以我们可以列出不等式：$\Delta=m^2-4(m+3)>0$。解得 $m<-2$ 或 $m>6$。

只有这个条件是可以的吗？当然不行，因为我们没法保证解在哪里。

我们发现，如果有 $0 < x_1 < x_2 < 2$ 满足 $f(x_1)=f(x_2)=0$，那么，一定有 $f(0)>0$，$f(2)>0$。这与函数的开口方向密切相关。

于是，我们又可以列出不等式：

1. $f(0)=m+3>0$，得 $m>-3$。

2. $f(2)=2^2+2m+(m+3)=7+3m>0$，得 $m>-\frac{7}{3}$。

难道这就完了？当然不是。因为当 $m=8$ 时会有这种鬼事：

因此，我们还要限制对称轴在 $0$ 到 $2$ 之间。因此列出不等式 $0<-\frac{m}{2}<2$，解得 $-4<m<0$。

综上，我们得出了 $-\frac{7}{3}<m<-2$ 的结论。

需要注意这些细节：

1. 函数的开口方向；

2. 这个解是否允许取到区间端点。

这种题目我也不太好说，总之就是靠经验吧。

2、要求分别在两个区间内各有一个实数解

$f(x)=x^2+mx+(m+3)$，若 $f(x)=0$ 在 $(-1,0)$ 和 $(4,5)$ 内各有一个实数解，则 $m$ 的取值范围？

我们可以发现，只要同时符合以下条件即可：

$\left{\begin{matrix}
f(-1)>0 \
f(0)<0 \\ f(4)<0 \\ f(5)>0
\end{matrix}\right.$

根据零点存在性定理，$(-1,0)$ 一定有一个零点，$(4,5)$ 一定有一个零点，就可以了！

需要注意，如果一元二次函数的开口是向下的，需要另外考虑。