cyrxdzj的文化课学习笔记 数学006 函数之指数函数与对数函数

1、前置知识：各种公式

这些公式能让你更容易地计算式子。

以下所有公式，均有 $a>0,a\neq1$。

1-1、指数篇

$a^b\times a^c=a^{b+c}$

$a^b\div a^c=a^{b-c}$

$a^{b\times c}=(a^b)^c=(a^c)^b$

$a^{log_ab}=b$，这个应该很好理解。

1-2、对数篇

对数函数的定义域是 $(0,+\infty)$。以下所有公式均默认符合此要求。

$log_a(x_1\times x_2)=log_ax_1+log_ax_2$

$log_a(x_1\div x_2)=log_ax_1-log_ax_2$

$log_ab=\frac{log_ca}{log_cb}$，其中 $c$ 可以任意选择。一般根据题目要求自行判断。

$x=log_a(a^x)$，这个应该很好理解。多用于解不等式或方程。

2、前置知识：给对数函数加上绝对值

有对数函数 $f(x)=|log_ax|(a>0,a\neq1)$。图象如下：

若 $f(x_1)=f(x_2),x_1\neq x_2$，则一定有 $x_1\times x_2=1$。

证明：函数 $g(x)=log_ax$ 是单调递增的。若有 $f(x_1)=f(x_2),x_1\neq x_2$，则一定有 $g(x_1)=-g(x_2)$（因为 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 中恰好有一个是被绝对值符号翻转上来的）。

然后，根据上面的公式，有 $g(x_1\times x_2)=g(x_1)+g(x_2)=-g(x_2)+g(x_2)=0$。我们知道，对数函数的参数为 $1$ 时值才是 $0$。所以，$x_1\times x_2=1$。

3、根据函数值的单调性推出参数的单调性

已知函数 $y=log_2(ax^2-x)$ 在区间 $(1,2)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是？

首先，$log_2x$ 是增函数。也就是说，$ax^2-x$ 在区间 $(1,2)$ 上单调递增。

这样，我们就可以分情况讨论。

$a$ 的情况	列出的不等式	不等式解析	解得
$a=0$	没有不等式	此时 $ax^2-x=-x$，这明显是单调递减的	无解
$a>0$	$-\frac{-1}{2a}\le1$	开口向上的二次函数，对称轴右边是单调递增的	$a\ge\frac12$
$a<0$	$-\frac{-1}{2a}\ge2$	开口向下的二次函数，对称轴左边是单调递增的	无解

但是我们别忘了，$ax^2-x>0$ 一定要恒成立。当 $x=1$ 时，$ax^2-x$ 有区间内最小值（因为单调性）。所以，解 $a\times1^2-1>0$，得 $a>1$。

综上，$a>1$。

4、分段函数和对数函数结合，图象与横线的交点个数

已知函数 $f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}-x^2+2x,x\ge0,\\ln(-x)+\frac{1}{x},x<0,\end{matrix}\right.$，则函数 $y=f[f(x)-1]$ 的零点个数？

首先，我们先将内层的 $f(x)-1$ 设为 $t$，那么问题便转换为了，$f(t)=0$ 的解的个数，以及解的情况。

分段函数分段看。我们先解 $-x^2+2x=0$，可以得 $x_1=0,x_2=2$。

再看看 $ln(-x)+\frac1x=0$。我们注意到这个方程是“超越方程”，解不出来的。所幸，这个 $ln(-x)+\frac1x$ 是单调递减的。所以，当 $x=-1$ 时，$ln(-x)+\frac{1}{x}=-1$；而当 $x=-e$ 时，$ln(-x)+\frac{1}{x}>0$。由于我们只用求个数，所以我们发现，$t$ 有三种可能，分别是 $0,2,-e<t_3<-1$。

这样，我们就可以分别求出以下方程的解的数量，加起来就是答案：

$f(x)-1=0,f(x)-1=2,f(x)-1=t_3$。

也就是：

$f(x)=1,f(x)=3,f(x)=t_3+1$，且 $-e+1<t_3<0$。

我们发现，函数 $-x^2+2x$ 在 $x\ge0$ 时长这样：

最大值为 $1$。

我们画不出 $ln(-x)+\frac1x$ 的图象，但我们可以发现，它的值域为 $R$，且单调递减。这意味着这个式子的图象与任意一条平行于 $x$ 轴的横线都有且只有一个交点。

即可列出表格：

方程	解的总个数	在 $ln(-x)+\frac1x(x<0)$ 部分的解的个数	在 $-x^2+2x(x\ge0)$ 部分的解的个数
$f(x)=1$	$2$	$1$	$1$
$f(x)=3$	$1$	$1$	$0$
$f(x)=t_3$	$2$	$1$	$1$

综上，答案为 $5$。

本题的要点：

1. 抽丝剥茧地处理函数嵌套；

2. 分段函数分段来看；

3. 善用函数的单调性、值域的特殊性质。