1、根据函数的奇偶性求值
已知函数 $f(x)=\frac{x+b}{ax^2+1}$，这是定义在 $\begin{bmatrix}-1,1\end{bmatrix}$ 上的奇函数，且 $f(1)=\frac{1}{2}$，求 $a,b$ 的值。
我们知道，奇函数有 $f(x)=-f(-x)$，那么我们可以知道 $\frac{x+b}{ax^2+1}=-\frac{-x+b}{a(-x)^2+1}$。
我们还发现，$x^2=(-x)^2$，也就是说这个等式两边的分母其实相等（且不等于 $0$）。也就是说，$x+b=-x+b$。经验证，在 $b=0$ 时有 $\frac{x}{ax^2+1}=-\frac{-x}{a(-x)^2+1}$。
得到 $b=0$ 之后，我们就可以代入求值，得到 $\frac{1}{a+1}=\frac{1}{2}$ 了。
有些时候可以使用一些小技巧。
已知定义域为 $R$ 的函数 $f(x)=\frac{-2^x+b}{2^{x+1}+2}$ 是奇函数，求 $b$ 的值。
我们都知道，如果奇函数在 $x=0$ 时有定义，那么一定有 $f(0)=0$。
所以，$\frac{-2^0+b}{2^1+2}=0$，可以得出 $b=1$。
需要注意，$f(0)=0$ 不能称为奇函数的充分条件。所以，使用此方法后，必须验证：$f(-x)=…$ 给阅卷老师看看。
当题中提到函数是奇函数时，有以下条件可供解题：
定义域必须对称。
对于所有的定义域中的 $x$，都有 $f(-x)=-f(x)$。
如果 $0$ 在定义域中，则一定有 $f(0)=0$，因为 $f(-0)=-f(0)$。
而如果是偶函数，则：
定义域必须对称。
对于所有的定义域中的 $x$，都有 $f(-x)=f(x)$。
2、判断函数的单调性
一般情况下，我们可以设 $x_1<x_2$，然后根据 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小关系判断。
而更多情况下，我们可以根据 $f(x_2)-f(x_1)$ 与 $0$ 的大小关系判断。
例如，函数 $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ 是定义在 $\begin{bmatrix}-1,1\end{bmatrix}$ 上的函数（诶这不就是上面出现过的函数吗），判断它的单调性。
首先，我们设 $-1\le x_1<x_2\le1$。
然后，开始计算：
$f(x_2)-f(x_1)\\=\frac{x_2}{x_2^2+1}-\frac{x_1}{x_1^2+1}=\frac{x_2(x_1^2+1)-x_1(x_2^2+1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}\\=\frac{x_2x_1^2+x_2-x_1x_2^2-x_1}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}=\frac{x_1x_2(x_1-x_2)+x_2-x_1}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}\\=\frac{(1-x_1x_2)(x_2-x_1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}$
于是，经过细心地计算，我们就得到了这么个算式。
接下来，我们要好好地利用 $-1\le x_1<x_2\le1$ 这个条件。
首先，任何实数的平方都大于等于 $0$，我们就可以发现 $x_1^2+1\ge1,x_2^2+1\ge1$。这意味着，分母大于 $0$。
然后，我们也可以很容易地发现 $x_2-x_1>0$。
我们发现，$-1\le x_1<x_2\le1$ 这个条件，意味着 $x_1x_2<1$。读者自证不难。
也就是说，$1-x_1x_2>0$。
这些条件集齐，我们就可以得出 $f(x_2)-f(x_1)>0$。因此，函数单调递增。
对于这类问题，应该根据单调性的定义，列出算式，细心地计算，并得出结果。
高中的数学特别考验细心和耐心，稍有不慎就会大量丢分。
3、判断特殊类型函数的奇偶性
有函数 $f(x)$，定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，且对于任意 $x_1$ 和 $x_2$ 都有 $f(x_1\times x_2)=f(x_1)+f(x_2)$，试证明这是偶函数。
一般来说，对于这类函数，$-1,0,1$ 是突破口。在本题中 $f(0)$ 未定义。
我们可以发现，$f(1)=f(1\times1)=f(1)+f(1)$，因此，$f(1)=0$。
我们还可以发现，$f(1)=f[(-1)\times(-1)]=f(-1)+f(-1)$，因此，$f(-1)=0$。
别问我怎么“可以发现”的。这只能靠经验，以及，猜。
这样，我们可以发现 $f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)+0$，我们就得出了 $f(x)$ 是偶函数的结论。
4、利用函数的奇偶性与单调性解不等式
已知函数 $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ 是定义在 $\begin{bmatrix}-1,1\end{bmatrix}$ 上的函数，这是单调递增的奇函数，解关于 $t$ 的不等式 $f(t+\frac{1}{2})+f(t-\frac{1}{2})<0$。
首先，根据定义域，我们可以发现 $-1\le t-\frac{1}{2}<t+\frac{1}{2}\le1$，也就是说 $-\frac12\le t\le\frac12$。
然后，$f(t-\frac12)=-f(\frac{1}{2}-t)$，原不等式等价于 $f(t+\frac{1}{2})<f(\frac{1}{2}-t)$。
由于 $f(x)$ 是增函数，所以，可以得到 $t+\frac12<\frac12-t$。
最终，我们得到 $t$ 的取值范围是 $[-\frac12,0)$。
对于这类问题，我们应利用好各个性质，同时注意各种各样隐藏在题目中的要求，最终得出答案。
已知函数 $f(x)$，定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，且对于任意 $x_1$ 和 $x_2$ 都有 $f(x_1\times x_2)=f(x_1)+f(x_2)$，且有 $f(2)=1$，这是偶函数，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。
好问题来了，解不等式：$f(2x^2-1)<2$。
首先，我们发现，这个函数是中间凹、两边凸的形式。因为这是偶函数，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $(-\infty,0)$ 上就单调递减了。
然后，我们可以尝试求出 $f(?)=2$。显然，$f(4)=f(2)+f(2)=2$。由此，我们得到 $f(2x^2-1)<f(4)$。
我们再看看函数的两个重要特性（偶函数&单调性），这个特性决定了我们要解的不等式其实是：$\left{\begin{matrix}
-4<2x^2-1<4 \\
2x^2-1\neq0
\end{matrix}\right.$。
这个不等式也不难解。
函数的单调性可以将函数值的大小比较（例如 $f(a)<f(b)$）转化为函数参数的大小比较（$a<b$）从而大幅度降低解题难度。
而函数的奇偶性的作用是，如果本来只知道某一个区间的单调性，可以用它来转化为另一个区间的单调性。
需要注意，“将函数值的大小比较转化为函数参数的大小比较”有时候不是那么容易的。这个时候我们可以画个草得不能再草的图，随便画几条直线，符合奇偶性和单调性即可，然后看图转化。
