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1、思维杂题
这些思维杂题，用于更好地巩固函数的定义。
已知 $A=B=${$0,1,2,3$}，则 $f:A\rightarrow B$ 有多少种值域？
可以发现，值域一定是集合 $B$ 的子集（对是子集即可，不需要相等的），同时值域不能为空集。而一个集合的非空子集的数量是 $2^n-1$ 个，所以值域有 $15$ 种。
若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为“同族函数”。那么，函数 $y=x^2,x\in${$-1,0,1,2$} 有多少个同族函数？
可以很容易地得到，该函数的值域为 {$0,1,4$}，由此可知定义域符合如下性质：
- $0$ 必须出现；
- $\pm1$ 至少出现一个，也可以都出现，共 $3$ 种可能；
- $\pm2$ 同上；
- 其它数均不能出现。
综上，相同的值域，定义域有 $9$ 种可能。
但是题中要求定义域不同，而上面 $9$ 种定义域有一种其实就是题中提到的。因此，答案为 $8$。
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 {$1,2,3,4$}，值域为 {$7,8,9$}，且对任意的 $x<y$ 都有 $f(x)\le f(y)$，则满足条件的不同函数共有多少个？
值域中每一个数，都至少有一个定义域中的数与之对应；而定义域中的每一个数，都恰好对应一个值域中的数。分析题目，题中要求定义域中有 $4$ 个数，可值域只有 $3$ 个数，换句话说，恰好有 $2$ 个定义域的数，对应的值域中的数，是同一个。
而题中还说 $x<y,f(x)\le f(y)$，结合上文，我们可以列出不等式：
$f(1)\le f(2)\le f(3)\le f(4)$
这个式子中的 $3$ 个不等号有且只有 $1$ 个实际上是取等号的。如果有大于 $1$ 个不等号实际上取等号，就会导致函数可能的值的数量小于 $3$，值域中有数找不到定义域中的数与之对应；而如果没有不等号实际上取等号，就会导致 $4$ 个 $x$ 产生了 $4$ 个 $f(x)$，可值域的大小才 $3$ 个。
而任何一个不等号实际上取了等号，我们都能构造出对应关系。
因此，满足条件的不同函数，有 $3$ 个。
2、与一元二次函数结合起来
已知函数 $f(x)=x^2-4x$ 在 $[0,m]$ 上的值域为 $[-4,0]$，则实数 $m$ 的取值范围是？
首先，通过图象，我们可以看出 $x^2-4x$ 的情况：
可以计算得出，当 $x=0$ 时，函数值为 $0$。当 $x=2$ 时，函数值取到最小值，为 $-4$。当 $x=4$ 时，函数值再次为 $0$。
因此，可以得出 $2\le m\le4$。如果 $m$ 太小，函数值就不够小；如果 $m$ 太大，函数值就会超过 $0$。
3、当给出的函数不标准的时候
有些问题给出的函数，不会给 $f(x)$ 这种标准的形式，而是各种各样乱七八糟的形式。
已知 $f(2x-1)=4x^2$，则下列结论中正确的是：
A. $f(3)=-9$
B. $f(-3)=-4$
C. $f(x)=x^2$
D. $f(x)=(x+1)^2$
对于这类问题，首先为了避免混淆，先将题干中给出的函数变量改个名字，变成 $f(2a-1)=4a^2$。
然后，对于每个选项，挨个儿解出函数括号内的数对应的 $a$ 是多少。
例如，A 选项，我们可得 $2a-1=3$，解得 $a=2,4a^2=16\neq-9$。A 选项错误。
B 选项，我们可得 $2a-1=-3$，解得 $a=-1,4a^2=4\neq-4$，B 选项错误。
C 和 D 选项，我们可得 $2a-1=x$，稍稍细心计算，得 $a=\frac{x+1}{2}$，由此可得 $4a^2=(x+1)^2$，D 选项正确而 C 选项错误。
对于此类问题，应将题干中给出的原函数传入的参数（即 $2a-1$）和选项中给出的待验证函数传入的参数（即 $3$、$-3$、$x$）进行比对，要求两者相等，得出原函数传入的参数中的字母具体是什么（即，当 $2a-1=3$ 时 $a=2$），然后将字母代入计算。为避免混淆，可以将原函数中的字母统一更名。
需要注意的是，有些时候以上方法并不适用，例如：
已知 $f(x-\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x^2}$，求 $f(x)$。
对于这道题，我们可以使用初中时学过的完全平方公式，发现 $x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac1x)^2+2$，而 $f(x-\frac1x)=(x-\frac1x)^2+2$ 意味着 $f(x)=x^2+2$。
对于这种情况，可以尝试推出函数参数与函数表达式之间的关系，具体情况具体分析。
4、仔细分析更复杂的函数
设 $f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$，则下列结论正确的是？请注意本题多选。
A. $f(-x)=-f(x)$
B. $f(\frac{1}{x})=-f(x)$
C. $f(-\frac{1}{x})=f(x)$
D. $f(-x)=f(x)$
我们可以发现，$x^2=(-x)^2$，$x$ 的正负性并不影响平方的结果。因此，$\frac{1+x^2}{1-x^2}=\frac{1+(-x)^2}{1-(-x)^2}$，由此可得 $f(-x)=f(x)$，A 选项错误，D 选项正确。
顺便说一句，这样的函数叫做偶函数，函数关于 $y$ 轴对称，图象如下：
同时，我们可以得到 $f(\frac{1}{x})=f(-\frac{1}{x})$，这一条待会有用。
接下来，细心推出以下式子：
$f(\frac{1}{x})\\=\frac{1+(\frac{1}{x})^2}{1-(\frac{1}{x})^2}\\=\frac{x^2+1}{x^2}\div\frac{x^2-1}{x^2}\\=\frac{1+x^2}{x^2-1}$
至此，函数 $f(\frac{1}{x})$ 计算完毕。
而函数 $f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$，可以很容易地发现 $f(\frac{1}{x})=-f(x)$，B 选项正确，C 选项错误。图象如下：
可以恰好发现 $f(x)$ 与 $f(\frac{1}{x})$ 关于 $x$ 轴对称。
对于此类问题，应细心审题，谨慎作答，答后验证。
5、分段函数之对齐分段
试画出函数 $f(x)=x|x|$ 的大致图象。
我们知道，绝对值本质上也是一个分段函数，可以表示为 $f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}x,&x\ge0,\\-x,&x<0,\end{matrix}\right.$。
其实，任何一个函数，都一定可以转换成分段函数，分多少段、每一段的范围和解析式是什么，随你喜欢可以按照题目要求来。比如，$f(x)=x$ 也可表示为 $f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}x,&x\ge0,\\x,&x<0,\end{matrix}\right.$。
这样，我们便可以列出下表：
| $f(x)=x$ | $f(x)=\vert x\vert$ | $f(x)=x\vert x\vert$ | 达成条件 |
|---|---|---|---|
| $x$ | $x$ | $x^2$ | $x\ge0$ |
| $x$ | $-x$ | $-x^2$ | $x<0$ |
可以发现，当 $x\ge0$ 时，函数为开口向上的对称轴为 $x=0$ 一元二次函数的一部分；当 $x<0$ 时，函数为开口向下的对称轴为 $x=0$ 一元二次函数的一部分。图象为：
对于这类题目，应将函数整个式子分离成多个分段函数（分离函数），对于每个分段函数，继续细分分段（即使这会导致有些分段解析式相同）（对齐分段），列出表格，再将多个函数通过一些运算符号拼在一起（合并函数），再根据分段条件和合并后的解析式特点画出函数图象。
再看看更简单的。定义符号函数 $sgn\space x=\left\lbrace\begin{matrix}1,&x>0,\\0,&x=0,\\-1,&x<0,\end{matrix}\right.$，试画出 $f(x)=|x|sgn\space x$ 的大致图像。
老方法，分离函数，对齐分段，得出下表：
| $f(x)=\vert x\vert$ | $f(x)=sgn\space x$ | $f(x)=\vert x\vert sgn\space x$ | 达成条件 |
|---|---|---|---|
| $x$ | $1$ | $x$ | $x>0$ |
| $0$ | $0$ | $0$ | $x=0$ |
| $-x$ | $-1$ | $x$ | $x<0$ |
我们可以发现函数完完全全就是 $f(x)=x$ 诶。函数图象如下：
上图中，红色线和绿色线是拆分后的函数，紫色线是合并后要求的函数。函数与颜色的对应关系在左边有写。
6、分段函数进阶
设 $f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}(x+1)^2, &x\le0, \\\frac{4}{x}, &x>0,\end{matrix}\right.$，则：
$y=f(x)$ 与 $y=a$ 的图象有 $2$ 个交点，$a$ 的范围是？
对于这一题，我们可以发现，$f(x)$ 函数的左边部分是对称轴为 $x=-1$ ，顶点为 $(-1,0)$ 的二次函数，右边部分是反比例函数。
可以发现，当 $a<0$ 时，没有交点；
当 $a=0$ 时，只有一个交点，就是二次函数顶点 $(1,0)$。
可以发现当 $x=0$ 时 $(x+1)^2=1$，而当 $x=0$ 时 $f(x)$ 执行的是左部分的二次函数，因此，可以想象得出，当 $0<a\le1$ 时，$y=a$ 与 $f(x)$ 有 $3$ 个交点，其中二次函数部分有 $2$ 个（对称轴左边 $1$ 个，右边 $1$ 个），反比例函数部分有 $1$ 个。
当 $a>1$ 时，有 $2$ 个交点。其中二次函数部分有 $1$ 个（对称轴左边 $1$ 个，右边 $0$ 个），反比例函数部分有 $1$ 个。
图象：
对于此类问题，应画出大致图象，注意 $x$ 上的分段，并根据关键信息对 $y$ 进行分段。
解不等式：$0\le f(x)\le1$。
这相当于以下两个不等式的解集的并集：
$x\le0$ 且 $0\le(x+1)^2\le1$，解得 $-2\le x\le0$；
$x>0$ 且 $0\le\frac{4}{x}\le1$，这也很容易地解得 $x\ge4$。
综上，不等式解集为 $[-2,0]\cup[4,+\infty)$。
解不等式：$0\le f(f(x))\le1$。
嗯，函数嵌套了起来。
对于此类问题，我们先别管 $x$ 的范围，看看 $f(x)$ 的范围吧。由上题可知，$-2\le f(x)\le0$ 或 $f(x)\ge4$。
接下来，我们先看看这两个不等式。
首先是 $-2\le f(x)\le0$，显然 $x=-1$，看图就知道了。
然后是 $f(x)\ge4$，这条不等式需要分成两半处理，由图也可以知道 $x\le-3$ 或 $0<x\le1$（请务必注意不等号中有没有包含等号，“小于”和“小于等于”是两回事）。
搞定。
在做此类函数嵌套的题目时，像剥洋葱一样一层一层解开就好了。
（以下内容较为古老，仅供参考）
我们注意到，无论何时，一定有 $f(x)\ge0$。并且当且仅当 $x=-1$ 时，$f(x)=0$。
当 $x=-1$ 时，$f(f(x))=f(0)=1$，符合不等式。
当 $x\neq-1$ 时，有 $f(x)>0$，这意味着 $f(f(x))$ 一定是分段函数的右边的反比例函数部分。因此，根据 $0\le f(f(x))\le1$ 可以得到 $f(x)\ge4$。
根据图象，我们可以发现，当 $x<-1$ 时，当且仅当 $x\le-3$ 时 $f(x)\ge4$。当 $-1\le x\le0$ 时，二次函数对称轴右边的部分没有值大于 $4$ 的地方。当 $x>0$ 时，当且仅当 $0<x\le1$ 时 $f(x)\ge4$.
综上，解得 $x\le-3$ 或 $x=-1$ 或 $0< x\le1$。
对于此类问题，应通过分类讨论的方式解决，注意分段函数的分段条件中的等于号。
7、找规律
已知分段函数 $f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}x^2, &x<1, \\f(x-1)-1, &x\ge1,\end{matrix}\right.$，求以下函数的值：
$f(2)$
$f(2023)$
$f(2023.6)$
$f(-0.6)$
对于第 1 题，可以爆算，$f(2)=f(1)-1=f(0)-1-1=0^2-1-1=-2$。
对于第 2 题，显然不能爆算了，但是我们可以根据上一题找到规律，可以发现 $f(2023)=f(2022)-1=f(2021)-1-1=\dots =f(0)-2023\times1=-2023$，每计算一层，$f$ 中的参数都会减 $1$，同时式子后面就会多个 $-1$。
对于第 3 题，可以发现 $f(2023.6)=f(2022.6)-1=f(2021.6)-1-1=\dots =f(0.6)-2023\times1=0.6^2-2023=-2022.64$。有点难，但细心分析应该不会有太大问题。
对于第 4 题，一上来就有 $x<1$，所以 $f(-0.6)=(-0.6)^2=0.36$。
经计算机验证，这是正确的：
当然考试时没有计算机的。
对于这类问题，可以稍微爆算几轮，发现规律，同时根据函数解析式验证规律。
8、将函数分成若干个部分，以分析图象
例如，指出函数 $f(x)=\vert x+2\vert$ 和 $f(x)=\vert x^2-3x+2\vert$ 的单调区间。
首先，我们先看看 $f_1(x)=x+2$ 的图象。很显然，这就是一个一次函数的图象。同时，我们可以发现 $f(x)=\vert f_1(x)\vert$（废话）。
然后，我们发现，绝对值符号，就是将函数图象在 $x$ 轴以下的部分翻转过来。因此，$f(x)$ 的图象如图红色实线：
因此，函数在 $(-\infty,-2)$ 单调递减，$[-2,+\infty)$ 单调递增。
我们再看看 $f_2(x)=x^2-3x+2$，这是一个二次函数，对称轴为 $x=1.5$，当 $x=1$ 和 $x=2$ 时函数值为 $0$。而绝对值符号就是将图象在 $x$ 轴以下的部分翻转过来，因此函数图象如下：
这个图象分析稍微复杂一点。
对于 $(-\infty,1)$，一开始（代表 $f_2(x)$ 的蓝线，下同）就是单调递减，也没被翻转，因此现在还是单调递减；
对于 $[1,1.5]$，一开始是单调递减，但由于被翻转了，所以现在是单调递增；
对于 $(1.5,2)$，一开始是单调递增，但由于被翻转了，所以现在是单调递减；
对于 $[2,+\infty)$，一开始就是单调递增，也没被翻转，因此现在还是单调递增。
分析完毕。
9、分析二次函数的图象
初中时我们学过，二次函数的单调递增递减区间是这个关系：
| 二次项系数（一般记为 $a$）与 $0$ 的关系 | 对称轴左边区域 | 对称轴右边区域 |
|---|---|---|
| $a>0$ | 单调递减 | 单调递增 |
| $a<0$ | 单调递增 | 单调递减 |
已知函数 $f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}x^2+4x, &x\ge0, \\4x-x^2, &x<0,\end{matrix}\right.$，若 $f(4-a)>f(a)$，则实数 $a$ 的取值范围是？
分析二次函数时，二次项系数和函数对称轴是很重要的参数。
对于 $x^2+4x$，对称轴为 $x=-2$，因此当 $x\ge0$ 时函数递增。
对于 $-x^2+4x$，对称轴为 $x=2$，因此当 $x<0$ 时函数递增。
当 $x=0$ 时，$x^2+4x=4x-x^2=0$，也就是说，$f(x)$ 整个函数都是递增的。
而 $f(4-a)>f(a)$，也就意味着 $4-a>a$ 即可（将函数值的大小比较通过单调递增或单调递减函数转化为函数参数的大小比较以大幅降低计算量，是一个很常用的套路）。实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2)$。搞定。
若函数 $f(x)=ax^2+(a-3)x+1$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是？
首先，由于函数在右侧部分单调递减，所以不可能出现 $a>0$ 的情况。
然后，考虑 $a=0$ 时，函数退化为一次函数，即 $f(x)=-3x+1$。此时整个函数都是单调递减的。
最后，考虑 $a<0$ 时，只要函数的对称轴在 $-1$ 的左边（$-1$ 上也可以）。换句话说，不等式组 $\left\lbrace\begin{matrix}a<0\\-\frac{a-3}{2a}\le-1\end{matrix}\right.$ 成立。解得 $-3\le a<0$。
综上，可以发现 $a$ 的取值范围是 $[-3,0]$。
10、对勾函数
形如 $y=k(x+\frac{a}{x})$，其中 $a>0,k\neq0$ 的函数，图象为对勾。
对勾函数是奇函数，分为 $2$ 个部分。每个部分的形状与 $k$ 相关。
| $k$ 与 $0$ 的大小关系 | 左半部分情况 | 右半部分情况 | 例图 |
|---|---|---|---|
| $k>0$ | 当 $x=\frac{a}{x}$ 且 $x<0$ 时，左半部分取得最大值 | 当 $x=\frac{a}{x}$ 且 $x>0$ 时，右半部分取得最小值 |  |
| $k<0$ | 当 $x=\frac{a}{x}$ 且 $x<0$ 时，左半部分取得最小值 | 当 $x=\frac{a}{x}$ 且 $x>0$ 时，右半部分取得最大值 |  |
可以发现，对勾函数和基本不等式息息相关。
11、函数的平移与翻转
作出函数 $y=\frac{x-1}{x-2}$ 的图象，并写出函数的定义域、单调区间和值域。
通过化简，我们得到 $y=\frac{x-1}{x-2}=\frac1{x-2}+1$。
然后，我们尝试将这个函数从 $y=\frac1{x}$ 这个反比例函数平移出来。
首先，我们先向右移动 $2$ 格。向右移动多少格，函数中的所有 $x$ 就会统一减去多少。注意，是所有的 $x$。这样，我们就得到了 $y=\frac{1}{x-2}$。
然后，再向上移动 $1$ 格。向上移动多少格，函数末尾就会加上多少。这样，我们最终得到 $y=\frac{1}{x-2}+1$。
函数平移的同时，定义域、单调区间和值域当然也会随之平移。
事实上，在初中时，我们学的二次函数顶点式，本质上就是平移的产物。
以下所有变化后函数，均基于函数 $f(x)=2x+1$。
| 事件 | 函数的变化 | 变化后函数 |
|---|---|---|
| 向右平移 $a$ 格（等价于向左平移 $-a$ 格） | 所有 $x$ 统一减去 $a$ | $f(x)=2(x-a)+1=2x-2a+1$ |
| 向上平移 $a$ 格（等价于向下平移 $-a$ 格） | 整个函数统一加上 $a$ | $f(x)=2x+1+a$ |
| 左右翻转 | 所有 $x$ 统一变为 $-x$ | $f(x)=2(-x)=1=-2x+1$ |
| 上下翻转 | 整个函数统一变为相反数 | $f(x)=-(2x+1)=-2x-1$ |
12、将带根号的函数转换为二次函数
有些时候函数是带根号的。我们都知道，$x\ge0$ 时 $(\sqrt{x})^2=x$。有时我们可以利用这个特点。
例如，求 $y=2x+\sqrt{1-x}$ 的值域。
首先，我们可以发现 $x\le1$。否则函数将无意义。
然后，我们尝试转换一下。
$y=2x+\sqrt{1-x}\\=2x-2+\sqrt{1-x}+2\\-(2-2x)+\sqrt{1-x}+2$
然后，设 $t=\sqrt{1-x}$。我们可以发现 $t\ge0$，以及：
$y=-(2-2x)+\sqrt{1-x}+2=-2t^2+t+2$，我们要求的就是这个玩意的值域。
$y=-2t^2+t+2$ 的对称轴为 $t=\frac14$，此时 $y$ 有最大值，稍微算算可以得出 $\frac{17}{8}$。由于函数的右边不受限制，所以 $y$ 可以取任意小。
综上，函数的值域是 $(-\infty,\frac{17}{8}]$。
图象为：
这个东西其实就是，换元。之后再写篇文章讲讲吧。
13、究极无敌分类讨论
已知函数 $f(x)=2x^2+2ax+1$，函数 $g(x)=\frac{2-2x}{x}$，设函数 $h(x)=\min\lbrace f(x),g(x)\rbrace(x\neq0)$，分类讨论 $a$ 的值与 $h(x)$ 与直线 $y=0$ 的交点个数。
可以在 desmos 上查看：点击这里。
首先，我们先化简 $g(x)=\frac{2-2x}{x}=\frac{2}{x}-2$，根据函数的平移的知识，可以发现这就是一个反比例函数向下平移 $2$ 格。
显然，当 $x<0$ 时，$g(x)<0$。我们也可以很方便地计算出当 $x>1$ 时，$g(x)<0$；当 $x=1$ 时，$g(x)=0$。图象如下：
这个性质看似无用，其实大用。显然，由于 $h(x)$ 要求的是最小值，这意味着，在 $x<0$ 和 $x>1$ 这两个段，$h(x)$ 一定不会和 $y=0$ 有交点。因为这两个段 $g(x)$ 小于 $0$，就算 $f(x)=0$，也会因为太大而不计入 $h(x)$。
图中的紫色部分就是 $h(x)$。
再看看这个 $f(x)$，可以发现，无论 $a$ 怎么变，$f(x)$ 始终经过一个定点：$(0,1)$。而这个定点在 $y=0$ 的上方。
由此，我们可以分类讨论：
当 $f(x)$ 的对称轴在 $x=0$ 左边或 $x=0$ 上时，显然 $f(x)$ 在 $y$ 轴右边的部分都不会和 $y=0$ 有任何交点。此时答案的交点由 $g(x)$ 创造，只有一个。
当 $f(x)$ 的对称轴在 $x=0$ 右边，但是与 $y=0$ 仍没有交点时。此时答案的交点还是由 $g(x)$ 创造，只有一个。
一个小技巧：有些时候，可以试试利用 $\Delta$ 来解各种情况。
当 $f(x)$ 的对称轴在 $x=0$ 右边，而且与 $y=0$ 有恰好一个交点时。此时需要验证 $f(x)$ 与 $y=0$ 的交点是否确实在 $0<x<1$ 之间。此时 $h(x)$ 与 $y=0$ 有 $2$ 个交点。
当 $f(x)$ 的对称轴在 $x=0$ 右边，而且与 $y=0$ 有 $2$ 个交点，且最右边的交点在 $(1,0)$ 左边时。我们不用列那么长的式子去表示两个交点的坐标。我们其实只需要列 $\Delta>0$ （保证有 $2$ 个交点）、$-\frac{1}{2}a>0$ （保证对称轴在 $x=0$ 右边）和 $f(1)>0$ 即可。
当 $f(x)$ 的对称轴在 $x=0$ 右边，而且与 $y=0$ 有 $2$ 个交点，且最右边的交点恰好在 $(1,0)$ 上时。可以发现，此时 $f(1)=0$，最左边的交点一定在 $x=0$ 和 $x=1$ 之间。此时 $h(x)$ 与 $y=0$ 有 $2$ 个交点。
当 $f(x)$ 的对称轴在 $x=0$ 右边，而且与 $y=0$ 有 $2$ 个交点，且最右边的交点在 $(1,0)$ 右边时。请读者自行思考 $h(x)$ 与 $y=0$ 有几个交点。
