1、前置知识：子集与真子集
在开始之前，我们先定义两个集合 $A$ 和 $B$ 和两个条件 $p:x\subseteq A$ 和 $q:x\subseteq B$。这两个条件并不会让下面的解释变得更通俗易懂，但是出题人似乎很喜欢考。
当集合 $A$ 中的东西，$B$ 中也有，$B$ 中的东西 $A$ 中也有，那么 $A=B$。此时 $p$ 是 $q$ 的充分且必要条件（充要条件）。
当集合 $A$ 中的东西，$B$ 中也有，那么 $A\subseteq B$。此时 $p$ 是 $q$ 的充分条件。一个特例是 $A=\varnothing$，此时条件依然成立。空集是任何集合的子集。
当集合 $A$ 中的东西，$B$ 中也有，但 $B$ 中至少有一个东西 $A$ 是没有的，那么 $A\subsetneqq B$。此时 $p$ 是 $q$ 的充分但不必要条件。同样，一个特例是 $A=\varnothing,B\ne\varnothing$，此时条件依然成立。空集是任何非空集合的真子集。 在考场上，当出题人说 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件时，请及时反应过来，他是在说 $A\subsetneqq B$。
2、认真分析每个集合中的元素是否可以在另一个集合中出现
例题：$A=\lbrace x|x=5k+3,k\in Z\rbrace,B=\lbrace x|x=5k-2,k\in Z\rbrace,C=\lbrace x|x=10k+3,k\in Z\rbrace $，则以下选项中哪个是对的？请注意此题多选。
A. $A=B$
B. $A\subsetneqq B$
C. $B\subsetneqq A$
D. $A=C$
E. $A\subsetneqq C$
F. $C\subsetneqq A$
正确答案是 AF。可以发现题中的 $k$ 并没有限制正负性，我们可以发现 $5k-2=5(k-1)+3$，因此无论 $A$ 中的元素是什么，我们都有办法在 $B$ 中将其表示出来。同样，$B$ 中的所有元素，都可以在 $A$ 中表示出来。所以极其反直觉的结论就是，$A=B$，A 选项正确。
再看看 $A$ 和 $C$ 的关系。可以发现 $10k+3=5\times2k+3$，但是 $2k$ 必须是一个偶数而 $k$ 可以是奇数。因此，$C$ 中的元素一定在 $A$ 出现，$A$ 却不是所有元素都在 $C$ 中出现。所以，F 选项正确。
好，再上点难度。若集合 $A=\lbrace x|x=\frac{1}{9}(2k+1),k\in Z\rbrace ,B=\lbrace x|x=\frac{4}{9}k\pm\frac{1}{9},k\in Z\rbrace $，则 $A$ 与 $B$ 之间的关系是？
请读者认真思考一会。
可以发现，$\frac{1}{9}(2k+1)=\frac{2}{9}k+\frac{1}{9}$。当 $k$ 取奇数时，$\frac{2}{9}k+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}(k+1)\div2-\frac{1}{9}$，而 $(k+1)\div2$ 当然一定是个正整数，符合集合 $B$ 的要求。当 $k$ 取偶数时就更简单了，$\frac{2}{9}k+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}k\div2+\frac{1}{9}$，同样可以在集合 $B$ 中表示出来。
而如果考虑 $B$ 集合里的所有元素是否能在 $A$ 里表示出来？答案是当然可以。$\frac{4}{9}k+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\times2k+\frac{1}{9}$ ，而 $\frac{4}{9}k-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\times(2k-1)+\frac{1}{9}$。
综上所述，$A=B$。
对于此类题型，可以尝试将集合 $A$ 的定义式化成与集合 $B$ 的定义式相似的式子，再反过来将集合 $B$ 的定义式化成与集合 $A$ 的定义式相似的式子，再随便举几个例子证明自己的推断。
3、充分条件？必要条件？充要条件？
先来一道题引入。
已知 p 是 r 的充分不必要条件，q 是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，则正确的选项是？请注意本题多选。
A. s 是 q 的充要条件
B. p 是 q 的充分不必要条件
C. r 是 q 的必要不充分条件
D. r 是 s 的充分不必要条件
对于这道题，我们可以像这样在草稿纸上画张图。如果 a 是 b 的充分条件，那么就从 a 到 b 画一条有向边。显然，如果 b 是 a 的必要条件，那么 a 就是 b 的充分条件，换个说法而已。
flowchart LR p([p]) r([r]) s([s]) q([q]) p-->r q-->r r-->s s-->q
接下来，判断每个选项。在上面那张图中，如果可以从 a 出发到达 b，那么 a 就是 b 的充分条件，否则不是。神奇吧？
因此，根据这幅图，我们判断出 AB 是正确答案。根据图片，r、s、q 互为充要条件，因此 A 正确，CD 错误。从 p 可以走到 q，但是从 q 不能走到 p，因此 B 正确。
论信息学知识“有向图的连通性”在文化课的妙用。
在生物学中也可以使用信息学的知识“有向无环图的动态规划”数生物链的数量，在这里按下不表。
4、容斥原理
某个班有很多人。这个班 $\frac{3}{8}$ 的人喜欢语文，这个班喜欢数学的人比喜欢语文的人多 $3$ 人，同时喜欢两门科目的人比同时不喜欢两门科目的人少 $7$ 人。请问，此班有多少人？
对于这道题，应使用容斥原理分析，再用方程求解。设全班 $x$ 人，同时喜欢两门科目的人有 $a$ 人，同时不喜欢两门科目的人有 $b$ 人。由此，我们可以列出方程，$\frac{3}{8}x+\frac{3}{8}x+3-a+b=x$。
这时我们发现这是一个三元一次方程，不会解。但是吧，注意题目有一句“同时喜欢两门科目的人比同时不喜欢两门科目的人少 $7$ 人”，这就是说 $b-a=7$。将这一条代入原方程，解得 $x=40$。自己吐槽自己：对于信竞生来说，才 $40$ 个人也好意思说多？
验证一下，这意味着 $12$ 人只喜欢语文，$15$ 人只喜欢数学，$3$ 人既喜欢语文又喜欢数学，$10$ 人都不喜欢。
5、当集合的内容为不等式解集时，集合间的关系
集合题目的难点，通常不在集合这个知识点本身。
5-1、集合互斥
当 $A=\lbrace x|1<x<3\rbrace ,B=\lbrace x|2m<x<1-m\rbrace $ 时，若 $A\cap B=\varnothing$，求实数 $m$ 的取值范围。
可以发现集合 $A$ 已经被锁死了，不会变的。并且集合 $A$ 并不是空集。因此可以分几种情况。
情况 1：B 为空集。换句话说，$B$ 里面的那个不等式无解。显然，当 $2m\ge1-m$ 时，这个不等式无解。即 $m\ge\frac{1}{3}$。
请一定要注意并思考 $2m\ge1-m$ 中的那个不等号能不能取等号。 具体来说，可以发现集合 $B$ 的数 $x$ 的范围是 $2m < x < 1-m$。如果这两个不等号有一个是不取等号的，那么可以 $2m\ge1-m$。否则，当 $2m\le x\le1-m$ 时，只有当 $2m>1-m$ 时才无解，因为当 $2m=1-m$ 时，$x$ 可以取 $2m$，不等式仍然有解，即使是唯一解。
情况 2：$B$ 集合中的最大值比 $A$ 集合中的最小值还要小。此时 $1-m\le1$ ，即 $m\ge0$。再次强调，注意能不能取等号。判断方法和上方大同小异。也可以尝试取一下等号，再判断 $A$ 和 $B$ 是否有交集，哪怕只有一个数同时出现也不行。
情况 3：$B$ 集合中的最小值比 $A$ 集合中的最大值还要大。此时 $2m\ge3$，也就是 $m\ge\frac{3}{2}$。虽然说这个时候 $B$ 集合都是空集了。
综上所述，$m$ 的取值范围为 $m\ge0$。
在做此类问题时，请善用数轴。如果你对你的脑子很有自信，可以在脑海里想一个数轴。如果你对你的脑子没啥自信，就拿出草稿纸。
5-2、集合互相包含
已知集合 $A=\lbrace x|-2\le x\le5\rbrace ,B=\lbrace x|m+1\le x\le2m-1\rbrace $，设 $p:x\in A;q:x\in B$，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的范围。
首先，我们先要求出 $A$ 和 $B$ 的关系。如果不会，把前面的内容再认真读一遍吧。
在考场上，当出题人说 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件时，请及时反应过来，他是在说 $A\subsetneqq B$。
显然，如果 b 是 a 的必要条件，那么 a 就是 b 的充分条件，换个说法而已。
因此，我们可以得出 $B\subsetneqq A$ 的结论。
首先，空集是任何非空集合的真子集。
什么时候 $B$ 为空集？是 $m+1>2m-1$ 时，还是 $m+1\ge2m-1$ 时？
当然是前者，因为当 $m+1=x=2m-1$ 时集合 $B$ 仍有元素。
然后，当 $-2\le m+1\le2m-1\le5$ 时，集合 $B$ 是 $A$ 的子集。请注意，当 $-2=m+1<2m-1=5$ 时，$B\subsetneqq A$ 不成立！ 虽然本题中不会出现这种情况，但请务必提防出题人的套路，分清“子集”和“真子集”的区别。
因此再分 2 种情况，第一种是 $-2\le m+1$ 且 $2m-1<5$，第二种是 $-2<m+1$ 且 $2m-1\le5$。
最终答案是 $m<3$。
5-3、集合有交集但不要求互相包含
若 $B=\lbrace x|2\le x\le6-m\rbrace,C=\lbrace x|m-1\le x\le1+2m\rbrace$，若 $B\cap C\neq\varnothing$，求 $m$ 的取值范围。
如果两个集合的并集不为空集，那么要求：
- 两个集合都不为空集，也就是说 $\left\lbrace\begin{matrix}2\le6-m,\\m-1\le1+2m, \end{matrix}\right.$，不难解得 $-2\le m\le4$；
- 其中一个集合的左端点在另一个集合的区域内，也就是说 $m-1\le2\le1+2m$ 或者 $2\le m-1\le6-m$。不难解得 $\frac{1}{2}\le m\le3$ 或者 $3\le m\le\frac{7}{2}$。
综上，$\frac{1}{2}\le m\le\frac{7}{2}$。
5-4、总结
可以发现，我们可以把集合之间的关系变成各种不等式，并求解。我们可以使用数轴来辅助求解。
需要特别注意不等号能不能写等于。
